人们称传统的几何学为欧氏几何学。欧氏几何统治了几何学两千多年，它建立了一个逻辑的演绎体系：由公理出发，推出各种定理从而得出结果。
公理就是欧氏几何中的公设。严格来说，欧几里得并不是这样规定的。他把公理定义为适用于一切科学的真理和基础。在《几何原本》中，欧几里得提出五条公理。比如：等量加等量，总量相等；彼此重合的东西是相等的；整体大于部分；两物与中间物相等则两物相等；等量相减仍为等量。这五条公理不仅适用于数学，而且在大自然中也同样适用。因此称之为公理。
而公设则是只在几何学中存在的真理。同样，欧几里得提出五条公设：
其一至其四为：从任一点到任一点可能作直线；有限直线沿直线延长是可能的；以任一点为中心和任一半径作圆是可能的；所有直角彼此相等。
第五公设为：若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
公设是欧氏几何学的基础，它是不证自明的。也就是说，除非你推翻欧氏几何学，否则的话，就必须在这五条公设下进行推理。欧氏几何和我们所见的空间是那样的吻合，如平滑的面、平直的线、弯曲的线、以及相交的斜线等等，看起来都是自然而真实的。
人们发现，第五公设是那样的特殊。一是它远不如前面四条公设清楚而简明确定，而是语句冗长，含义似乎意犹未尽；二是连欧几里得本人也很少使用第五公设，经常避免第五公设的发生，在《几何原本》中，直到第29个定理时，才使用了第五公设。
总之，把第五公设作为不证自明的道理，人们不易接受。人们纷纷探索，有两种思路成为主流：一是找寻等价命题，也就是说，换一个说法；二是企图证明第五公设是一个定理，把它从公设中排除。
不管怎样，等价命题是需要提出的。
1741年，法国克雷洛提出：“如果四边形的三个内角是直角，那么第四个角也必是直角。”
1769年，芬恩提出：“两相交直线不能同时平行于第三条直线”。
1795年，苏格兰的普雷菲文提出：“过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行”。这就是我国课本中通用的“平行公理”，各国目前都采用这种叙述方式。
也就是说，以上数学家提出的命题和原来的第五公设是一回事，完全等同，都是第五公设的等价命题。提出等价命题这一想法实现了，但是为什么对公设还表示怀疑呢？
自从公元前3世纪开始直到19世纪上半叶，有很多大数学家投入到第五公设的研究中去。人们大多认为，第五公设可能是定理，能够被证明出来。尤其是18、19世纪，证明第五公设的方案一个又一个地提出，进而一个又一个地被否定。
人们把证明第五公设视为一大难题，尽管无数人都失败了但仍然有无数人投身进去。人们证明第五公设，主要是证明与之等价的“平行公设”。
1802年，玻约伊出生在匈牙利的柯罗日瓦尔。小玻约伊的父亲老玻约伊是高斯的同桌好友，也是一位很有才华的数学教授。
很小的时候，小玻约伊就听父亲讲各种各样神奇的定理、伟大的发现，他深深地爱上了数学。第五公设的问题更加使玻约伊倾心向往。
中学毕业后，玻约伊成绩优异，考入了维也纳皇家工程学院。18岁时，他是这里的一名大学生，他立下心愿，要研究第五公设。
老玻约伊知道后，并没有感到高兴，而是很恐慌，他写了一封信给玻约伊，信的意思是这样的：“希望你再也不要做证明平行公理的尝试。因为你把一辈子花到这上面，也不可能证明得出这个定理。在这方面，我自己埋没了一切亮光和欢乐。上帝啊！希望你放弃这个问题，对它的害怕应该多于感情上的留恋。因为它会剥夺你生活中一切时间和健康以至休息与幸福。这个无希望的黑暗能够使上千座牛顿那样的灯塔沉没，这个黑夜任何时候都不可能见到大地光明”。
这样可怕的预言从何而来呢？原来，老玻约伊的一生就是花在第五公设上了。和高斯不一样，他更加迷恋第五公设。高斯也研究第五公设，但在其他方面建树很高，老玻约伊虽然是一位数学教授，但沉溺于第五公设却没有什么进展，所以很后悔，认为自己虚度了一生。
他苦心规劝儿子，希望儿子不要重蹈覆辙。但是小玻约伊并没有被父亲的劝告吓倒。1822年，玻约伊留校从事研究，他终于取得了进展。1832年，老波约伊出版了一本著作。在这本书的最后，发表了小玻约伊的一篇论文《关于与欧几里得的第五公设无关的空间的绝对真实性的学说》。
其实，在小玻约伊只是21岁左右的青年人时，这个天才的萌芽已经出现并取得进展。他证明了：“第五公设确实是一个欧氏几何体系中独立的公设，企图用欧氏几何的其他公设来证明第五公设是不可能的。”
而1832年发表的论文，是小玻约伊的进一步发展。在改变第五公设的情况下，一种新的几何诞生了。他提出，规定一个新公设，即“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行。”
这太离奇了，连小玻约伊的父亲也不能理解。1826年起，小玻约伊到处请人们就他的新成果发表意见，人们都摇头表示不可理喻，也没有研究会帮他出版。后来，玻约伊请求高斯的支持，可是高斯却只是赞扬了几句，没有投入更大的热情。
玻约伊十分失望。
其实，早在数年前，高斯在研究第五公设的时候就已敏锐地意识到了转向问题。1824年，47岁的高斯在给朋友的信中就说：“三角形的内角之和可以小于180°，这种几何和我们现在的几何完全不同，但却自足，我发现了它们并有一些见解。”
高斯为什么不发表新的观点呢？原来，高斯历来小心谨慎，甚至有些顾及名誉和利益而瞻前顾后。他既要独立系统地研究和证明，又怕发表的成果观念太过新颖，人们会嘲笑他妄想而失去权威的地位。这使得高斯一直没有公开发表，但他在暗地里却一直在研究，并且得出很多有价值的理论。
小玻约伊没有得到任何支持，后来又知道高斯也发现了这一新几何，只是没有发表，而突然间又得到罗巴切夫斯基发表了与自己想法相同的几何研究，心情十分沉重，郁郁寡欢。1860年，天才的玻约伊去世了，没能目睹这门学科最终创立。
1840年，俄国的罗巴切夫斯基勇敢地、完整明确地指出新几何的存在。
罗巴切夫斯基1792年生于高尔基城，父母都是穷职员。15岁时就以高材生的身份进入喀山大学，毕业时获硕士学位，最后担任喀山大学校长。1826年，罗巴切夫斯基首先指出第五公设的不绝对性。1830年左右，罗巴切夫斯基发表《论几何基础》，成为世界最先论述非欧几何的文献。1840年，他用德文写成《平行理论的几何研究》。
罗巴切夫斯基的遭遇果真如高斯所料，尽管罗巴切夫斯基是很有声望的科学家，但是他也遭到了攻击，为此还被免去了职务。人们攻击他，说他违反“常识”地胡言乱语，是“疯子”所为。大多数科学家也说罗巴切夫斯基是“伪科学”，荒唐透顶。
罗巴切夫斯基面对各种责难，以顽强的斗志捍卫新的发现。在他双目失明后，仍然口述了非欧几何的著作《泛几何学》。
虽然同时有高斯、玻约伊发现了新几何学，但是只有罗巴切夫斯基勇敢地全面发展并证明，坚持不懈地捍卫了这种新发现。所以，人们命名这种新几何学为“罗氏几何”。
欧氏几何中，三角形内角和是180°；而在罗氏几何中，三角形内角和却是小于180°。这都是建立在第五公设的不同之上的。
1854年，高斯的学生德国数学家黎曼提出了另外一种几何，这种几何中，三角形的内角和是大于180°的。
黎曼几何与罗氏几何就是我们现在所见到的“非欧几何”。罗氏几何与黎曼几何同传统的非欧几何相比，重要区别就在于第五公设的不同。
自“非欧几何”提出，人们一直认为这些不过是推理中的体系。20世纪到来，在新的突破中，在遥远宇宙的大尺度观测和原子微观领域研究中，发现了真正存在的非欧空间。
就空间所依托的平面不同来看，罗氏几何的面近似于马鞍，而黎曼几何的面是球面，球面三角形的内角和是大于180°。1868年贝特拉《非欧几何解释的尝试》中证明了非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。德国数学家克莱因把欧氏几何叫“抛物几何”，把罗氏几何称为“双曲几何”，把黎曼几何叫“椭圆几何”，三者区别在于“曲率”不同。
非欧几何是构成相对论的重要数学基础。
这就是第五公设的无穷魅力。
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